內文簡介
高校数学で構造を持っているのは三角関数と行列と初等整数論位のもんです。本書では、色々な大学の数学の入試問題（主として三角関数と行列と初等整数論関係）の背景を探りながら、そこから、大学の数学の、どんな分野に繋がり広がって行くのかを述べたいと思いますが、行列と初等整数論関係の方は、先に大学の数学を展開してから、その後で背景を述べたいと思います。本書では、大学で学ぶ色々な数学の基礎（三角関数と指数関数、Euler の公式、複素双曲線関数、微積分、関数論の初歩、集合と写像、単位半群、群、環、体、環上の加群、ベクトル空間、体の有限次拡大と代数拡大、初等整数論、テータ関数、算術幾何平均、Tschebyscheff 多項式、第 2 種 Tschebyscheff 多項式、簡単な線形微分方程式、包絡線、など）について、出来るだけ簡潔に解説します。本書の特長は論理記号 ∃, ∀, =⇒,⇐⇒, ∃1 などを躊躇なく用いた所です。勿論これらの記号の意味を説明した上で用いました。この本の特長は、括弧（例えば、（）、 [ ] など）が躊躇することなく、使用されたことです。これらの記号を用いたことに依って、デリケートな数学の内容を出来得る限り忠実に表現できたと自負して居ります。本書は高校数学までは良く理解しているが、大学の数学には苦手意識を持っている人々も読者に想定しているので、本書の内容を用いて大学入試問題を解説したりもします。本書で扱う入試問題の出題年と大学名を列挙します：１９８８年京都大（理系）、１９８９年足利工大、１９９０年東工大（後期）、１９９４年東工大、１９９６年京都大（後期・理系）、１９９７年東京大（前期）、１９９７年東北大（前期）、１９９７年大阪大（前期）、１９９９年東京大（理・後期）の１番、１９９９年東工大（後期）の１番、１９９９年京都大（後期・理系）、２０００年京都大（後期・文系）、２０００年大阪大（前期・理系）、２０００年九州大（前期・理系）、２００２年京都大（後期・理系）の４番、２００２年名古屋大（前期）の３番、２００２年立教大（理学部）の２番、２００２年慶応大（医学部）の４番、２００２年上智大・理工学部の２番、２００４年東京医科歯科大（前期）の 1 番、２００４年東京大（前期・理系）の４番、２００４年名古屋大（前期・理系）の３番、２００６年東京医科歯科大（前期）の３番、２００９年神戸大（前期・理系）の２番、２００９年神戸大（前期・理系）の５番、２０１０年北大（前期・理系）。京都大５問、東工大３問、東京大３問、大阪大２問、名古屋大２問、東京医科歯科大２問、神戸大２問、東北大１問、九州大１問、足利工大１問、立教大（理学部）１問、慶応大（医学部）１問、上智大・理工学部１問、北大１問の計 5 × 1 + 3 × 2 + 2 × 4 + 1 × 7 = 5 + 6 + 8 + 7 = 26 問です。本書の更なる目的は、初等超越関数の背後に隠れている（個性ある）多項式達にスポットを当てることです。初等超越関数の何たるかは序章を読んでいただければ了解されることと思います。初等超越関数の背後に隠れている（新しい）多項式として、双曲多項式（筆者の命名に依る）も紹介します。双曲多項式は幾つかの諸性質（双曲多項式は第二種 Tschebyscheff 多項式を特殊化して得られること、その有理整係数が持つ整数論的性質、sm 関数というものを用いて美しく因数分解され、その因数分解は初等整数論に於ける平方剰余の相互法則の証明に最もエレガントに応用されること、線形三項間漸化式を満たすこと、二階線形同次微分方程式を満たすこと、双曲多項式列が直交多項式系を成すこと、母関数の関係を満たすこと、曲線 y 2x = −4 が曲線群 {y = Wn(x)} (Wn(x) は第 n 双曲多項式) の包絡線であること、超幾何級数で表されること、零点が代数的に可解あること、等々）を持ちますが、参考文献 [31] では、それらの結果のみを述べ、私の電子書籍「解析/代数/初等整数論/テータ関数/算術幾何平均/微分方程式/超幾何・合流型超幾何関数/代数的可解性」では、それらの結果すべてに厳密な証明を与えました。本書でも、上記の諸性質の幾つかには厳密な証明を与えました。双曲多項式の背後には双曲関数なるものが存在し、それは Legendre 関数や Legendre 陪関数の親戚であると思われます。また、双曲多項式自身は Laguerre 多項式の親戚であると思われます。Legendre 陪関数や Laguerre 多項式は自然現象と神秘的な関係を持ちます（20 世紀に入り現代物理学の基礎理論である量子力学が現われた時期、水素原子の波動関数が Legendre 陪関数や Laguerre 多項式で書き表されました）。双曲多項式や双曲関数も、そうであることが期待されますが、その様な解明は今後の物理学の発見、研究に俟ちたいと思います。本書の読者としては、意欲的な高校生や、理科系の大学初年級の人々や、理学部数学科の学生や、高校数学までは良く理解しているが大学の数学が苦手でそれを克服したいと思っている人々等が想定されているので、高等学校における数学の内容は、予備知識として仮定されています。本書の記述に当たっては、教育的な配慮から、稍、厳密性を犠牲にした箇所もあります。あまりに厳密な議論は初学者を退屈させるだけだと思ったからです。また、出来るだけ言葉を少なくし、数式を沢山取り入れるように心掛けた積もりです。数学を語るのは言葉ではなく、数式であると考えるからです。本書を読まれるに当たっては、必ずノートと鉛筆を用意されて、読者自らが一歩一歩確認されながら読まれることをお薦めします。例えば 2.3.1(41page) や 2.3.2 や 2.3.3 の証明などは、とても目だけで読み切れるものではないでしょう。他にもそのような箇所は多々存在すると思うので、是非とも一歩一歩確認されながら読んで頂きたいと思います。ノートと鉛筆を用意されて、読者自らが一歩一歩確認されながら読まれるならば、1.1～1.9、2.1～2.8、3.1～3.3、第４、５、７、８章全部、は高校数学に直結していて、比較的容易に楽しむことが出来ると思います。その他の部分は、厳密に読破しようとすれば、巻末の色々な参考文献を参照しなければならないでしょうが、割り切って読まれれば、それなりに楽しむことが出来るでしょう。しかし、第６章は本書の難所でしょう。近年、教育において、実用的な面が強調され、精神の豊かさといったことが軽視されるようになったことは誠に嘆かわしいと思います。このことと同じように嘆かわしいのが、近年の日本における salon の消失です。もともと日本には salon のような空間や雰囲気はそぐわないものなのでしょうか!? しかし、真にゆとりがあるとは、salon のような空間や雰囲気が沢山存在することをいうのです。或いは日本は salon のような空間や雰囲気を持つだけの財力もないほど貧困なのでしょうか!? せめて本書は、ささやかであろうとも、文化としての数学を愛する人々の salon のような空間や雰囲気でありたいと願っています。そして、そのように執筆してきた積もりです。そもそも、数学の実用性などを論じること自体がナンセンスなことでしょう。数学の本体は神々の世界に存在する実体であり、数学は、我々とるに足らない人間等が利己的に利用など成しえない程、極めて高尚な、次元の高いところに存在しているのです。数学に対して我々凡庸な人間がとることの出来る唯一の正しい態度は、彼（女）へ憧れ、彼（女）をひたすら愛することです。このように数学を理解して下さるすべての人々へ、本書を捧げたいと思います。我々人間はくだらなく、とるに足らない存在ではあるけれども、せめて数学に対しては Jacobi と共に以上のように接しましょう。人間の精神の名誉のために。 2013 年 5 月 13 日、著者記す

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