素養導向：數學教學實務（2）

＜內容簡介＞ 教師應協助學生建立學習的自信、喜歡上數學。讓學生找出答案的方法，遠比給學生答案更重要。 本書可分六個章節，分別為〈質數、因數與倍數〉、〈比與比例〉、〈分數〉、〈小數〉、〈統計與機率〉，最後為〈幾何與空間〉的教學實務內容。共有139個教學活動，分別為〈質數、因數與倍數〉有15個教學活動，〈比與比例〉有13個教學活動，〈分數〉有18個教學活動，〈小數〉有33個教學活動，〈統計與機率〉有31個教學活動，〈幾何與空間〉有29個教學活動，期能有助於在數學教學的運用。 ★目錄： 推薦序　鐘世凱校長 推薦序　張芳全主任 自序 第0章 質數、因數與倍數的教學實務 第1章 比與比例的教學實務 第2章 分數的教學實務 第3章 小數的教學實務 第4章 統計與機率的教學實務 第5章 幾何與空間的教學實務 參考文獻 ＜作者簡介＞ 謝如山 國立臺灣藝術大學師資培育中心教授 學歷 1997/2-1999/5 伊利諾大學香檳分校課程與教學系數學教育組哲學博士（Doctor of Philosophy) 1996/7-1997/2 伊利諾大學香檳分校教育心理學系教育統計與測驗組博士候選人 1994/2-1996/6 伊利諾大學香檳分校教育心理學系教育統計與測驗組科學碩士（Master of Science) 1988/9-1993/6 國立臺北教育大學初等教育學系教育行政組教育學士(Bachelor of Education） 教授課程 普通數學、數學科教材教法、教育議題專題 ★內文試閱： ‧推薦序 欣聞如山教授《素養導向2》專書出版，還記得今年3月才拿到《素養導向1》的贈書，事隔未久，又有一本專書，能為之序，榮幸之至。 如山教授與我同年進入本校服務，同梯的情誼至深、至切。如山教授於教學、研究、服務均有卓著貢獻，為本校優越的學術人才。 於教學領域，如山教授的專長領域在數學，數學是科學之母，對於本校學生的學習，能應用藝術與數學的結合。再者，數學可培養學生的邏輯思維，理性思考，為學習的基礎能力。最後，如山教授長期要求本校師培學生協助鄰近國小學生數學課程，已逾20年，其深知灼見在能協助國小學生啟發數學興趣，同時亦強化本校學生的數學能力，其仁義之舉，產生了多贏的成效。近期又因開設多元課程，幾何構圖科技，知曉近期研究專注於幾何科技與藝術的結合，AI為目前發展的趨勢，期能將幾何科技應用於中小學領域，以嘉惠更多學子。 於研究領域，亦知如山教授發展探究數學課程，與國小教師合作，於新北市頂溪國小、宜蘭縣人文國小與桃園市林森國小，歷經十多年的實務研究。亦曾主持國科會計畫、教育部計畫、新北教育局計畫、桃園教育局計畫等，出版專書9本，期刊論文近30餘篇，於專業領域有顯著的貢獻。 於行政領域，如山教授擔任三任師培中心主任，第一任期間承辦高中藝術生活科，辦理藝術生活學科專門課程，本校為全國第一所藝術生活科認證學校，於暑假辦理藝術生活學分班，已培育超過2,000多名藝術生活科教師；並於任內創立藝術與人文教學研究所，擔任第一任所長。於第二任期間，任內負責教育部評鑑，中學與小學學程均獲一等殊榮。於第三任主任期間，承辦澳門藝術專班，成功招生，整合全校資源，如表演學院、設計學院、美術學院師資，為學校開拓新的教學與學習領域，並與澳門理工學院建立穩固的交流情誼。 於服務領域，如山教授於主任任內開始辦理史懷哲服務計畫，與師培教授一同於馬祖、南投、新竹，以及新北市偏遠地區，如東北角、西北角、三峽等區，帶領近90位師培學生進行藝術服務，辦理時間近十年。並創辦師資培育中心新生訓練、結業典禮、外埠參觀、正式教師實務分享會議等制度，而這些制度目前仍持續辦理中。 最後本書的成果源自於如山教授長期協助鄰近國小學生，及與國小教師研究發展課程的結晶，期待我的摯友，能持續他的專業，點亮更多的光輝。 國立臺灣藝術大學校長 鐘世凱 112.8.1 得知如山教授在數學教育、學校行政、評量與統計等領域學有專精，非常高興能為之序。 本書撰稿之初，有幸能先窺探《素養導向1》與《素養導向2》的原貌，全書的範圍涉略甚廣，從《素養導向1》的數學教師專業、數學教學趨勢、數數、位值、整數的加法、減法、乘法、除法，到《素養導向2》的因數與倍數、比與比值、分數、小數、統計與機率到幾何與空間概念等。應涵蓋了國小重要的數學概念，甚至有些教學內容已到國中的程度。 與如山教授有更多的接觸，是於本校所舉辦東亞地區校長學術研討會，於數次所發表的學術論文均與校長學高度相關，如校長的道德領導、願景領導及課程與教學領導。於此，如山教授所進行的研究取向，並非只重在數學教育專業領域，於學校行政領域，亦多有琢磨。 同時，在評量方面，對於真實評量於數學概念的應用，也有一些論述，如應用真實評量於數感概念，應用真實評量於時間概念等文，可看到他對於評量的專業。 再者，如山教授的統計專業，不但對於線性迴歸、變異數分析、結構方程模式有所涉略，亦專精於社會學統計領域的統計模式，如latent class model、loglinear related models、the RC association models等。期望能在未來看到他有相關統計專書的問世。 最後，我與如山教授一見如故，從他的待人處事，看到很多與我相似的地方。從他的身上看到誠懇與勤勉，在學術領域一直努力不懈，是值得一起相互鼓勵切磋的好朋友。我相信他能將最真實、有效益的專業傳遞給所需要的人，期待這本書能嘉惠更多的教育夥伴。 國立臺北教育大學教育經營與管理系系主任 張芳全 112.8.1 ‧摘文 第0章 質數、因數與倍數的教學實務 有鑑於臺灣108 年提出十二年國民基本教育提升數學素養的重要（教育部，2018），本章整理質數、因數與倍數的課程標準，以及相關的文獻與相對應的教學活動。 一、 課程標準：NCTM（2000）與教育部（2018）的比較 於6-8 美國課程標準，數與計算向度的指標為使用因數、倍數、質因數與質數互質的性質來解題，教學的年級為六至八年級。而臺灣的課程標準有5 個指標，分別於五至七年級對因數與倍數的內容設計。如： N-5-3：學生需理解因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數的意義，即教師需協助學生理解因數與倍數的使用時間與需求。學生於五年級還不需要使用短除法。 N-6-1：明確規範學生需對20 以內的質數和質因數進行分解，須使用短除法做質因數分解。 之後於N-6-2，學生要能找到最大公因數與最小公倍數，使用質因數分解法與短除法來解題。 對於N-7-1 學生要能找到100 以內的質數，之後學生需應用N-7-2 的質因數分解的標準分解式，解決因數與倍數的問題。從臺灣的課程標準來看，學習因數與倍數的關鍵概念，在於質因數分解。能快速解決問題的方法，則為短除法與質因數的標準分解式。而標準分解式是在七年級。 二、質數、因數與倍數的學習 因數與倍數的概念，最有名的故事就是「韓信點兵」了，以下摘錄之。 「卿部下有多少兵卒？」漢皇帝劉邦單刀直入地問道。 「敬稟陞下，兵不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。」楚王韓信答道。 大漢皇帝劉邦酒醒了幾分，本來按照張良的計畫，這次皇帝巡狩雲夢大澤，是要趁機捉拿韓信。如今韓信奉召在座，只要一聲令下，間壁伏下的甲士便可動手了。可是，問題中的問題是：韓信手下有多少兵卒？會不會引起大亂？陳平使盡神機也查不明白兵數。動手？不動手？真是猶豫難決的事。現在乘著酒酣耳熱，單刀直入地問了。結果是什麼「三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二」？多少兵？劉邦帶著詢問的臉色，望著張良。 張良正在心中緊張地搬運「籌策」計算，滿臉迷惑。當他接觸到皇帝的目光，立刻低聲而惶恐地回答：「兵數無法算，不可數！」 從上述的問題，到底有多少的數量符合：三個三個一數剩下二個，五個五個一數剩下三個，七個七個一數剩下二個呢？如果先從三個與七個一數，均剩下二個來看，三與七的公倍數為多少，為21，均剩下二個，為23，若是除以五，剛好剩下三個。所以最小符合數量的是23。 那下一個符合數量的數字是多少呢？可從3、7 的倍數來看，21、42、63⋯⋯，從這些數量來推，即可找出符合條件的數量。因數與倍數概念，在生活的使用相當多元，於108 年課綱（教育部，2018），五年級學童要對因數、倍數、公因數與公倍數概念能理解與應用；六年級學童要對最小公倍數與最大公因數、質因數分解法與短除法，能理解兩數互質的概念。並能運用分數的約分與擴分。 從因數概念來看，因數是討論一個整體量，可以被哪些整數整除，沒有剩下的意義。例如：探討12 的因數概念，可以發現12 可以被1 整除、被2 整除、被3 整除、被4 整除、被6 整除與被12 整除。所以，1、2、3、4、6 與12 都可被視為12 的因數。 倍數概念是討論一個整體量，可以經由整數的乘法倍數運算，產生整體量的倍數。例如：探討12 的倍數時，以「12」為整體量的倍數可以衍生12、24⋯⋯，這些以「12」為整體量的整數乘積所生成的正整數，稱為「12」的倍數。 ( 一 ) 質數、因數與倍數的定義 依據教育部（1993）數學課程綱要對於因數與倍數概念的定義為：「一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因數，乙稱為甲的倍數。」之後又規範了於國小階段只學習正因數、正倍數，於國中階段才引進負因數與負倍數的學習。之後教育部（2003）的數學綱要定義為：「一正整數a 若能整除另一正整數b，a 稱為b 的因數，b 稱為a 的倍數。」 謝堅（1995）則由除法觀點來討論因數的意義，即以總量為起點，找出總量可能組成的單位量有哪些。例如12，其因數有1、2、3、4、6、12，即可看出12 可被切分為：12 個1、6 個2、3 個4、4 個3、2 個6、1個12。 相對於因數，倍數的名詞對於學生而言較為熟悉。於學童開始接觸因數概念之前，他們在小學二年級時，即學習過「幾的幾倍」的概念，因此倍數概念較因數而言更為容易。 從除法運算，學童若在除法的運算有困難，則在尋找因數與倍數概念也會有學習問題（陳博文，1996）。這個結果對於尋找因數的過程，在於倍數除以因數，再經整除的過程（Gray & Tall, 1993）。朱建正（1997）發現此種概念含有隱藏的知識（tacit knowledge），但在教學中未被發現。要解釋這樣的關係，如用18 ÷ 3 = 6，學童所學到的6 是商數，3 是除數；然而，在因數與倍數概念，3 與6 都是18 的因數。於三年級階段，學生並不會接觸。 黃國勳與劉祥通（2003）認為因數與倍數的概念，是對於一個整體量小於與大於的關係，如12 的因數是3 和4，而12 的倍數是24 與36 。故從數字12 的因數與倍數關係來看，數字關係是一體兩面的數學概念。以因數的概念階層來看，因數是由整數乘除法等元素構成，這些元素為「子概念」或「下屬概念」（sub-concept）。 相對的，因數概念則為其子概念的「上位概念」（superconcept）。概念與概念之間具有階層關係，依序分為(1) 理解因數概念，學童才能列出一數的所有因數，由公因數到最大公因數；(2) 理解倍數概念，學童才能列出數的倍數，由公倍數到最小公倍數；(3) 從乘除運算、分數表徵、比例以及數列規律等，找出因倍數關係；(4) 將因倍數觀念應用於生活問題，找出解決問題的策略，如有些學者發展因數與倍數的情境教學，以提升學生對因數與倍數的學習（謝如山與潘鳳琴，2012）。 ( 二 ) 因數與倍數的學習困難 學童理解因數概念，一直是教師困擾的單元。相關研究（林珮如，2002；陳標松，2003；蕭金土，1995）指出：學童在學習因數時存有些許迷思概念，在於無法理解因數概念，產生學習上的瓶頸。 黃國勳與劉祥通（2003）從教學實務和診斷學童因數迷思概念的實例，發現五年級學童學習因數時，可能在認知運思能力、先備知識、生活經驗、語意理解和過程概念（pro-cept）等五個層面，產生學習困難。從認知運思能力、語意理解和生活經驗三個層面，因數概念是由整除定義而來，為二層次的抽象概念，定義因數時「被誰整除」或「整除誰」的說法，不僅產生理解的困擾，於判斷因倍數關係也易產生混淆。 因此本章於後面的活動設計從發現質數、因數到倍數，再使用因數與倍數的教具古氏數棒操作，到撲克牌遊戲，以建立學生的因數與倍數概念，最後再以韓信點兵的故事，協助學生應用因數與倍數概念。 (節錄)